Abstract: This thesis is devoted to solving problems in set-valued nonlinear analysis in which several variables interact. The generic problem is modeled by an inclusion involving a sum of monotone operators in a product Hilbert space. Our objective is to design new algorithms for solving this problem under various sets of hypotheses on the underlying operators, and to study the asymptotic behavior of the resulting methods. A common property of the algorithms is the fact that they proceed by splitting in that the monotone operators and, if any, the linear operators present in the model act independently at each iteration. In particular, we address the case when the monotone operators are subdifferentials of convex functions, which leads to new minimization algorithms. The proposed methods unify and significantly extend the state-of-the art. They are applied to monotone inclusions in duality, to equilibrium problems, to signal and image processing, to game theory, to traffic theory, to evolution inclusions, to best approximation, and to domain decomposition in partial differential equations.
Key words: composite fixed point problems, convex analysis, domain decomposition, equilibrium problems, evolution inclusions, image decomposition, image reconstruction, image restoration, maximally monotone operators, monotone inclusions in duality, Nash equilibrium, signal theory, traffic theory.
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Resumen: Existe una fuerte relación entre el sistema de transporte y la localización de actividades: mientras la localización es determinante en la generación y atracción de viajes en cada zona, el sistema de transporte, a través de la accesibilidad de las localizaciones, influye fuertemente en la elección de éstas. Lo anterior define el problema de interacción entre los equilibrios de estos sistemas, cuya modelación es el objetivo y motivación de este trabajo.
La estructura de redes es la base en el desarrollo de esta tesis, dada la gran flexibilidad que presenta para modelar distintos niveles de decisión e interacciones. En el caso particular de la interacción entre el sistema de transporte y el uso del suelo (ST&US), se puede considerar una red abstracta que extienda a la red de transporte con el fin de representar los procesos de decisión de localización a través de nuevos arcos y nodos. De este modo, las elecciones de localización son representadas a través del flujo de hogares por los arcos de localización que salen de los nodos superiores de la red extendida, los cuales representan la demanda inmobiliaria de los hogares, y llegan a los nodos de la red de transporte, que representan las zonas en la red física. La elección de los arcos de localización dependen del nivel de servicio de la red de transporte en cada zona. Por su parte, una vez localizados, los hogares generan viajes a los distintos propósitos, los cuales se distribuyen sobre la red de transporte modificando el nivel de servicio al cambiar los flujos sobre los arcos de esta red. Cabe señalar que para la modelación de la interacción ST&US es necesario que exista consistencia entre flujos de hogares y flujos de viajes individuales en los nodos de interacción entre arcos de localización y arcos de la red de transporte.
En este trabajo se estudia el equilibrio global estático ST&US a través de la definición de una función objetivo sobre la red extendida. Se pretende que el óptimo del problema de optimización reproduzca simultáneamente las condiciones de equilibrio definidas en dos modelos planteados previamente: "Random Bidding and Supply Model" de Martínez y Henríquez (2003) en el uso de suelo y "Markovian Traffic Equilibrium" de Baillon y Cominetti (2004) en la red de transporte. En ambos modelos las decisiones pueden ser representadas a través del modelo logit, estructura que se busca mantener en el equilibrio global de ambos sistemas. Se puede asegurar existencia y unicidad de la solución bajo condiciones razonables sobre la función objetivo, lo cual marca una diferencia con respecto a los modelos anteriormente desarrollados que modelan la interacción ST&US, donde sólo se proponen heurísticas de búsqueda del equilibrio, sin asegurar la convergencia de los métodos.